Діагональ прямокутника — універсальний параметр розміру, що напряму використовується і в шкільній геометрії, і в побуті: від розмітки екранів до перевірки прямокутності під час будівництва. Вона з’єднує протилежні вершини фігури та нерозривно пов’язує довжину і ширину через теорему Піфагора, дозволяючи швидко переходити від одних вимірів до інших. Знаючи діагональ, легко з’ясувати, чи правильно зібрано раму, підібрати дисплей потрібного розміру або визначити, чи поміститься предмет у прохід. А коли відомі сторони, її обчислення дає надійний контрольний результат для будь-якої задачі на прямокутники.
Діагональ прямокутника: означення й ключові властивості
Діагоналлю прямокутника називають відрізок, що сполучає дві протилежні вершини. У прямокутника дві діагоналі, і обидві вони однакової довжини. Кожна діагональ разом із двома суміжними сторонами утворює прямокутний трикутник, де сама діагональ є гіпотенузою. Ця проста ідея лежить в основі більшості формул для обчислення діагоналі.
Діагоналі перетинаються в середині прямокутника та ділять одна одну навпіл. Прямокутник є циклічною фігурою — через усі його вершини можна описати коло. Центр такого кола збігається з точкою перетину діагоналей, а діагональ дорівнює діаметру описаного кола, що дає ще один швидкий шлях до відповіді, коли відомий радіус або діаметр кола.
- Дві діагоналі. Рівні між собою.
- Діагоналі. Перетинаються і діляться навпіл.
- Кожна діагональ. Є гіпотенузою двох рівних прямокутних трикутників.
- Прямокутник. Описується колом, а діагональ дорівнює діаметру цього кола.
Базова формула: діагональ через довжину і ширину
Нехай a і b — сусідні сторони прямокутника, а d — його діагональ. Із теореми Піфагора випливає головна формула: d = √(a² + b²). Вона працює для будь-яких одиниць вимірювання, якщо всі величини взяті в одній системі.
- Розміри 3×4. d = √(3² + 4²) = √25 = 5.
- Розміри 6×8. d = √(36 + 64) = √100 = 10.
- Розміри 12×5. d = √(144 + 25) = √169 = 13.
- Розміри 7×9. d = √(49 + 81) = √130 ≈ 11,4.
Формула універсальна: сантиметри, метри чи дюйми не мають значення — головне, щоб a, b і d були в однакових одиницях.
Діагональ через площу та одну зі сторін
Якщо відома площа S і одна зі сторін, другу легко знайти як b = S/a. Тоді d = √(a² + (S/a)²). Аналогічно, якщо задано сторону b, маємо a = S/b і d = √(b² + (S/b)²). Обидва вирази рівноправні — обирайте той, у якому пряма підстановка коротша.
Такий підхід зручний, коли розміри не задані напряму, але відома площа прямокутника. Приклад: S = 60 см², a = 12 см. Тоді b = 60/12 = 5 см, а d = √(12² + 5²) = √169 = 13 см.
Діагональ через периметр та одну зі сторін
Нехай периметр P = 2(a + b). Виразимо невідому сторону: b = P/2 − a. Підставляємо у базову формулу: d = √(a² + (P/2 − a)²). Це корисно, коли задано периметр і одна з двох сторін. Приклад: P = 38 см, a = 9 см. Тоді b = 19 − 9 = 10 см, а d = √(9² + 10²) = √181 ≈ 13,45 см.
d = ½·√(P² − 4Pa + 8a²).
Діагональ і описане коло
Оскільки прямокутник завжди описуваний колом, його центр — точка перетину діагоналей, а сама діагональ дорівнює діаметру описаного кола. Це дає миттєвий розрахунок, якщо вже відомі параметри кола.
- Формула. d = 2R, де R — радіус описаного кола.
- Збіг. Діагональ збігається з діаметром описаного кола.
- Швидкий розрахунок. Знаючи R або D, одразу отримуємо d: d = 2R або d = D.
Діагональ через кут між стороною і діагоналлю
Позначимо α — кут між діагоналлю та стороною b. У прямокутному трикутнику з гіпотенузою d маємо cosα = b/d і sinα = a/d. Звідси дві зручні формули: d = a/sinα та d = b/cosα. Оберіть ту, де кут α утворює пару з відомою стороною.
Такий опис корисний у задачах, де окрім лінійних розмірів задані кути, наприклад у задачах про нахил діагоналі відносно сторін екрана або рамки.
- Коли знані a і α. Використовуйте d = a/sinα.
- Коли знані b і α. Застосовуйте d = b/cosα.
- Одиниці кута. Кут α беріть у градусах або радіанах — важливо лише бути послідовним у калькуляторі.
Приклад: a = 16 см, α = 53,13°. Тоді d = 16/ sin53,13° = 16/0,8 = 20 см. Перевірка через b: якщо b = 12 см, то d = 12/ cos53,13° = 12/0,6 = 20 см.
Діагональ через кут між діагоналями та площу
Для циклічних чотирикутників, зокрема прямокутника, площа виражається через діагоналі d₁ і d₂ та кут β між ними: S = d₁·d₂·sinβ/2. У прямокутника d₁ = d₂ = d, тому S = d²·sinβ/2.
Звідси формула для діагоналі: d = √(2S / sinβ). Тут S — площа, β — кут між діагоналями (0° < β < 180°), а sinβ має бути додатним. Формула працює, коли відомі площа і кут перетину діагоналей, що іноді трапляється в задачах на геометричні побудови.
Приклад: S = 120 см², β = 60°. Тоді d = √(2·120 / sin60°) = √(240 / 0,866…) ≈ √276,9 ≈ 16,64 см.
Квадрат як окремий випадок прямокутника
Коли a = b, прямокутник перетворюється на квадрат, і базова формула спрощується до d = a·√2 — це прямий наслідок теореми Піфагора для рівнобедреного прямокутного трикутника.
- При a = 10 см. Діагональ d = 10·√2 ≈ 14,14 см.
- Обчислення миттєве. Достатньо однієї сторони, додаткові дані не потрібні.
На відміну від квадрата, звичайний прямокутник має різні сторони, тому його діагональ завжди обчиснюється за повною формулою √(a² + b²) або еквівалентними перетвореннями.
Як виміряти діагональ екрана
Щоб виміряти діагональ екрана, прикладіть рулетку або мірну стрічку навскіс між протилежними внутрішніми кутами зображувальної області — рамку та бортики не враховуйте. Стандартна одиниця для екранів — дюйм, тому вимір у сантиметрах зручно одразу перерахувати за правилом 1″ = 2,54 см.
- Підготуйте інструмент. Гнучку стрічку або рулетку з сантиметровою та дюймовою шкалою.
- Прикладіть нульову поділку. До одного внутрішнього кута зображення і натягніть стрічку до протилежного.
- Зніміть показ. Якщо показ у сантиметрах, поділіть його на 2,54, щоб отримати дюйми.
- Альтернатива. Виміряйте ширину a та висоту b, знайдіть d = √(a² + b²), потім d у см поділіть на 2,54 для переходу в дюйми.
| Діагональ, ″ | Приблизно, см |
|---|---|
| 22 | ≈ 56 |
| 32 | ≈ 82 |
| 55 | ≈ 140 |
| 65 | ≈ 165 |
| 75 | ≈ 191 |
| 100 | ≈ 254 |
Пряме вимірювання рулеткою доречне для реальних об’єктів, коли потрібен швидкий результат без обчислень. Якщо ж уже відомі ширина, висота, площа чи периметр, зручніше порахувати діагональ формулами — це точніше і дозволяє працювати з кресленнями без доступу до об’єкта.
Розрахункові приклади з готовими числами
Щоб підставляти у формули, зводьте всі дані до одних одиниць. Коли результат не є цілим, округлюйте до потрібної точності задачі, наприклад до десятих або сотих.
- Розміри 4×3. d = √(4² + 3²) = √25 = 5.
- Розміри 12×5. d = √(144 + 25) = √169 = 13.
- Розміри 7×9. d = √(49 + 81) = √130 ≈ 11,4.
- Розміри 6×8. d = √(36 + 64) = √100 = 10.
- Через площу і сторону. S = 96 см², a = 12 см → b = 96/12 = 8 см, d = √(12² + 8²) = √208 ≈ 14,42 см.
За бажанням будь-який приклад можна перерахувати «через» периметр або кут — отримаєте той самий d, що слугує доброю перевіркою обчислень.
Як обрати спосіб визначення діагоналі
Коли відомі сторони, площа або периметр, найшвидше обчислити діагональ відповідною формулою з теореми Піфагора або її похідних. Для реальних об’єктів на кшталт екранів зручніше виміряти діагональ рулеткою і, за потреби, перевести сантиметри в дюйми. Правильний вибір методу визначається тим, які параметри вже відомі та наскільки доступний сам об’єкт.
